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Flexus FX100 Audio Analyzer

FFT Fast Fourier Transformation

Teil 1 - Grundlagen

Die „Fast Fourier Transformation“, kurz FFT genannt, ist eine wichtige Messmethode in der Audio- und Akustik-Messtechnik. Sie zerlegt ein Signal in einzelne Spektralkomponenten und gibt dadurch Aufschluss über seine Zusammensetzung. FFTs werden zur Fehleranalyse, in der Qualitätskontrolle und in der Zustandsüberwachung von Maschinen oder Systemen eingesetzt. Dieser Artikel erklärt die Berechnung der FFT, die relevanten Parameter und ihre Auswirkungen auf das Messergebnis.

Genau genommen handelt es sich bei der FFT um einen optimierten Algorithmus zur Implementierung der „Diskreten Fourier Transformation“, kurz DFT. Dabei wird ein zeitlich begrenzter Ausschnitt eines Signals in seine Bestandteile zerlegt. Diese Bestandteile sind einzelne Sinus-Schwingung bei diskreten Frequenzen, deren Amplitude und Phase bestimmt werden. Die FFT erlaubt also die Sicht auf ein Signal im Frequenzbereich. 

FFT Time Frequency View

Sicht auf ein Signal im Zeit- und Frequenzbereich

Schritt für Schritt
Im ersten Schritt wird ein Ausschnitt des zu messenden Signals abgetastet und zur weiteren Verarbeitung im Speicher abgelegt. Dabei sind zwei Parameter relevant:
  1. Die Abtastrate fs des Messsystems. (z.B. 48 kHz)
  2. Die gewählte Anzahl von Abtastwerten oder ‚Samples‘, die abgetastet werden sollen: die Blocklänge BL. Diese ist in der FFT immer eine ganzzahlige Potenz zur Basis 2. (z.B. 2^10 = 1024 Samples)
Durch die beiden zentralen Parametern fs und BL können nun weitere Parameter der Messung ermitteln werden.

  

Bandbreite fn (= Nyquist Frequenz). Dieser Wert gibt die theoretisch maximale Frequenz an, die durch die FFT bestimmt werden kann.

fn = fs / 2

Bei einer Abtastrate von 48 kHz lassen sich also theoretisch Signalanteile bis 24 kHz bestimmen. Bei analogen System liegt der praktisch erreichbare Wert durch die Verwendung von analogen Filtern meist etwas darunter, z.B. bei 20 kHz.

Messdauer D. Die Messdauer ergibt sich aus Abtastrate fs und Blocklänge.

D = BL / fs

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies 1024/48000 Hz = 21.33 ms

Frequenzauflösung df. Die Frequenzauflösung gibt den Frequenzabstand zwischen zwei Mess-Ergebnissen an.

df = fs / BL

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies ein df von 48000 Hz/1024 = 46.88 Hz

In der Praxis ist die Abtastfrequenz fs meist eine vom System gegebene Grösse. Durch die Wahl der Blocklänge BL kann jedoch die Messdauer und Frequenzauflösung definiert werden. Es gilt:

  • Eine kleine Blocklänge ergibt schnelle Messwiederholungen bei grober Frequenzauflösung.
  • Eine grosse Blocklänge ergibt langsamere Messwiederholungen bei feiner Frequenzauflösung.

FFT Blocklength

 Darstellung der FFT eines Signals mit niedriger und hoher Blocklänge

Bis in alle Ewigkeit…
Bei der Fourier Transformation gilt die Annahme, dass der gesampelte Signal-Ausschnitt sich unendlich lange periodisch wiederholt. Daraus folgen zwei Schlüsse:
  1. Die FFT eignet sich nur für periodische Signale.
  2. Der gesampelte Signal-Ausschnitt muss eine ganzzahlige Anzahl Perioden enthalten.

Es lässt sich erkennen, dass speziell die Bedingung 2. nur auf sehr wenige Signale zutreffen würde. Die Abtastung eines Signals, dessen Frequenzen kein ganzzahliges Vielfaches von df sind, würde innerhalb eines Blockes aus 2^n Abtastwerten mit unterschiedlichen Werten beginnen und enden. Dies resultiert in einem Sprung im Zeitsignal, und einem dadurch „verschmierten“ FFT Spektrum („Leakage“ Effekt).

FFT Smearing

 Ungefenstertes Zeitsignal mit verschmiertem Spektrum


Fensterung

Um dieses Verschmieren zu verhindern, bedient man sich in der Praxis der „Fensterung“ des Signalausschnittes. Mit einer Gewichtungsfunktion wird der Signalausschnitt mehr oder weniger sanft ein- und ausgeblendet. Damit wird erreicht, dass das gesampelte und anschließend ‚gefensterte‘ Signal bei Amplitude Null anfängt und aufhört. Der Ausschnitt kann nun ohne harten Übergang periodisch wiederholt werden.

Windowed time signal FFT

 gefenstertes Zeitsignal mit Spektrum

Ein Praxisbeispiel
Ein klassisches Beispiel aus der Signaltheorie ist die spektrale Zusammensetzung eines Rechtecksignals. Dieses besteht aus der Summe aller gewichteten ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz.
 

Formula Square Wave

Dieses Video zeigt die Entstehung eines 500 Hz Rechtecksignals als Zeitsignal und Spektrum.


Womit messen?
Für schnelle und einfache FFT Analysen bis etwa 20 kHz ist der portable XL2 Audio- und Akustik-Analysator bestens geeignet. Für mehrkanalige und detailliertere Analysen oder Berechnungen wird ein modernes System mit grosser Bandbreite und schnellen Signalprozessoren wie der FLEXUS FX100 Audio Analyzer benötigt. In Verbindung mit der FX-Control PC Software lässt sich die FFT entsprechend der Anforderungen der Messung einfach und rasch anpassen und visualisieren. Durch den größeren internen Speicher des FLEXUS FX100 können deutlich größere Blocklängen verarbeitet werden, was zu einer sehr viel feineren Frequenzauflösung führt.

Teil 2 - Weiterführende Betrachtungen

Im zweiten Teil dieses Artikels geht es um besondere Aspekte, die im praktischen Umgang mit FFT Messungen hilfreich sind. FFT Messungen finden Anwendung in zahlreichen Applikationen. Die Darstellung der Resultate erfolgt meist als Graph und ist einfach zu interpretieren. Es gibt jedoch einige notwendige Voraussetzungen, die für eine korrekte und genaue FFT Messung notwendig sind. Dieser Artikel gibt wertvolle Tipps dafür.


Wie im ersten Teil ausgeführt, bilden die Abtastrate fs des Messsystems und die Blocklänge BL die beiden zentralen Parameter einer FFT. Die Abtastrate besagt, wie häufig das zu analysierende analoge Signal abgetastet wird. Bei der Aufnahme von wav-Dateien über eine handelsübliche PC-Soundkarte wird das Audiosignal üblicherweise 44100 Mal pro Sekunde abgetastet.

Nyquist Theorem
Harry Nyquist war der Entdecker einer fundamentalen Regel bei der Abtastung von analogen Signalen: Die Abtastfrequenz muss mindestens dem Doppelten der oberen interessierenden Signalfrequenz entsprechen. Soll beispielsweise ein Signal abgetastet werden, das Frequenzen bis 24 kHz enthält, so ist dafür mindestens eine Abtastrate von 48 kHz erforderlich. Die halbe Abtastrate wird hierbei „Nyquist-Frequenz“ genannt.
Was geschieht aber, wenn dem System Signalanteile oberhalb der Nyquist-Frequenz zugeführt werden?

Aliasing
In der Regel wird eine Signalperiode (also ein Sinus-Wellenzug) mit ausreichend vielen Abtastwerten („Samples“) abgetastet. Bei einem 6 kHz Signal mit 48 kHz Abtastrate sind dies zum Beispiel noch 8 Samples. Bei 12 kHz stehen nur noch 4 Samples zur Verfügung. Bei der Nyquist-Frequenz lediglich 2 Samples. Mit 2 Samples oder mehr ist es möglich, das Signal verlustfrei wieder zu rekonstruieren. Stehen jedoch weniger als 2 Samples zur Verfügung, so entstehen Signalanteile, die im abgetasteten (ursprünglichen) Signal gar nicht vorkommen.


Spiegel-Frequenzen
In der FFT zeigen sich diese Signale als Spiegelfrequenzen. Wird die Nyquist-Frequenz überschritten, spiegelt sich das Signal an dieser imaginären Grenze und fällt in das Nutz-Frequenzband zurück. Das folgende Video zeigt ein FFT System mit 44.1 kHz Abtastrate. Diesem System wird ein Sweep-Signal von 15 kHz bis 25 kHz zugeführt.

Diesen unerwünschten Spiegelfrequenzen wird durch ein analoges Tiefpassfilter vor der Abtastung entgegengewirkt (Anti-Aliasing Filter). Das Filter stellt sicher, dass Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz unterdrückt werden.

Zeitfensterung
Die Zeitfensterung dient bei periodisch fortgesetzten Signalen dazu, die unerwünschten Übergangsprünge am Ende der Abtastung zu glätten. (siehe Teil 1) Damit werden Verschmierungen im Spektrum verhindert. Es gibt zahlreiche Fenster-Arten, die sich zum Teil nur durch Nuancen unterscheiden. Bei der Auswahl des Zeitfensters gilt folgende Grundregel: Jedes Fenster bedingt einen Kompromiss zwischen Frequenz-Selektivität und Amplitudengenauigkeit.

FFT Windows

 
Mittelung von Spektren
Bei der Analyse nichtperiodischer Signale, wie z.B. Rauschen oder Musik, ist es oft von Vorteil, mehrere FFT Blöcke zu erfassen und daraus Mittelwerte zu bestimmen. Dabei gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen:

  1.  Die klassische Mittelung: Hier werden eine Anzahl von FFTs gemessen. Jedes Resultat fliesst zu gleichen Teilen in das gemittelte Endresultat ein. Diese Methode eignet sich bei Messungen mit einer definierten Dauer.
  2. Die exponentielle Mittelung: Hier werden kontinuierlich FFTs gemessen. Auch hier fliessen eine feste Anzahl Resultate der kontinuierlichen Messungen in die Mittelung. Die Gewichtung erfolgt jedoch umgekehrt proportional zum ‚Alter‘ des Resultats. Die älteste der Messungen wird am wenigsten berücksichtigt, die aktuellste Messung trägt am stärksten zum gemittelten Resultat bei. Die exponentielle Mittelung wird verwendet, wenn das Spektrum über einen längeren Zeitraum kontinuierlich betrachtet wird.

FFT Averaging

 
 
Power vs. Peak Detektor
Moderne hochauflösende FFT Analysatoren bieten die Möglichkeit, die Anzahl der Messresultate von der FFT Blocklänge zu entkoppeln. Dies bringt eine Beschleunigung der Messung, insbesondere bei hochauflösenden FFTs. So müssen z.B. bei einer 2MB Blocklänge nicht mehr > 1Million Messpunkte (Bins) verarbeitet und dargestellt werden, sondern nur noch die für die Anzeige notwendige Anzahl, z.B. 1024.
Diese Zusammenfassung von FFT Bins kann auf zwei Arten geschehen:

  1. „MaxPeak“: Hier wird der maximale Wert der zusammengefassten FFT Resultate verwendet. Diese Art eignet sich gut für die visuelle Darstellung von FFTs
  2. „Power“: Hier werden die FFT Resultate energetisch summiert. Dies ist dann notwendig wenn die FFT für Berechnungen verwendet werden.

Berechnungen mit FFT Resultaten
FFTs werden überwiegend zur Visualisierung von Signalen verwendet. Es gibt jedoch auch Anwendungen, bei denen FFT Resultate verrechnet werden. So können zum Beispiel sehr einfach Pegel von definierten Frequenzbändern errechnet werden, indem diese über einen RSS (Root Sum Square) Algorithmus addiert werden.

Eine weitere Anwendung ist die Differenzbildung von Spektren. Das untenstehende Beispiel zeigt eine akustische Messung eines Akkuschraubers. Das gemessene Spektrum wird von einem einmal definierten Referenzspektrum subtrahiert. Diese Differenz wird gegen eine obere und untere Toleranz verglichen. Das obere Spektrum zeigt einen intakten Akkuschrauber. Im unteren Beispiel ist das Getriebe des Prüflings defekt.

Differential FFT OK Differential FFT NOK


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