FFT 빠른 Fourier 변환

"빠른 Fourier 변환 (FFT)"은 오디오 및 음향 측정 과학 분야에서 중요한 측정 방법 입니다. 신호를 개별 스펙트럼 구성 요소로 변환하여 신호에 대한 주파수 정보를 제공 합니다. FFT는 기계 또는 시스템의 결함 분석, 품질 관리 및 상태 모니터링에 사용 됩니다. 여기에서는 FFT가 작동하는 방법, 관련 매개변수 및 측정 결과에 미치는 영향에 대해 설명 합니다 .

엄밀히 말하면 FFT는 "Discrete Fourier Transformation"(DFT) 구현을 위한 최적화된 알고리즘 입니다. 신호는 일정 시간 동안 샘플링되어 주파수 성분으로 나뉩니다. 이러한 구성 요소는 각각 고유한 진폭 및 위상을 갖는 개별 주파수에서 단일 정현 진동입니다. 이 변환은 다음 다이어그램에 설명되어 있습니다. 측정된 기간 동안 신호에는 3가지 별개의 주된 주파수가 포함 됩니다. 

FFT Time Frequency View

시간 및 주파수 영역의 신호보기

Step by step
제 1단계에서, 신호의 섹션이 스캐닝되어 추후 처리를 위해 메모리에 저장된다. 이때 두 매개 변수는 관련이 있습니다:
  1. 측정 시스템의 샘플링 속도 또는 샘플링 주파수 fs(예: 48kHz). 이것은 1초 동안 얻은 평균 샘플 수입니다 (초당 샘플 수).
  2. 선택된 샘플 수; 블록 길이 BL. 이것은 항상 FFT에서 베이스 2에 대한 정수배이다 (e.g., 2^10 = 1024 샘플들)
2개의 기본 파라미터 fs 및 BL로 부터, 측정의 추가 파라미터가 결정될 수 있다.
  

Bandwidth fn (= Nyquist frequency). 이 값은 FFT에 의해 결정될 수 있는 이론상 최대 주파수를 나타냅니다.

fn = fs / 2

예를들어 48kHz의 샘플링 속도에서 이론적으로 24kHz까지의 주파수 성분을 결정할 수 있습니다. 아날로그 시스템의 경우, 실제적으로 달성할 수 있는 값은 아날로그 필터- e.g.  0kHz에서.

측정 지속시간  D. 측정 지속시간은 샘플링 속도 fs와 블럭 길이 BL에 의해 주어진다.

D = BL / fs.

 fs = 48 kHz 및 BL = 1024에서, 이것은 1024/48000 Hz = 21.33 ms

주파수 해상도 df. 주파수 해상도는 두 측정 결과 간의 주파수 간격을 나타냅니다.

df = fs / BL

 fs = 48 kHz 및 BL = 1024에서, 이것은 48000 Hz / 1024 = 46.88 Hz의 df를 제공합니다.

실제로 샘플링 주파수 fs는 대개 시스템에 의해 주어진 변수입니다. 그러나 블록 길이 BL을 선택하면 측정 지속시간과 주파수 해상도를 정의할 수 있습니다. 다음 사항이 적용 됩니다:

  • 블록 길이가 짧으면 복잡한 주파수 분해능으로 빠른 측정 반복이 발생 합니다.
  • 블록 길이가 길면 측정 빈도가 높아지고 측정 반복이 느려집니다.

FFT Blocklength

 크고 작은 블록 길이를 갖는 신호의 FFT 표현

무한대…
Fourier 변환에서, 샘플링된 신호 세그먼트는 무한한주기 동안 주기적으로 반복된다는 가정이있다. 이것은 두 가지 결론을 내린다:
  1. FFT는 주기적 신호에만 적합 합니다.
  2. 샘플링된 신호 세그먼트에는 전체 기간 수를 포함해야 합니다.

조건 2는 매우 적은 신호에만 적용된다는 것을 알 수 있습니다. 주파수가 df의 정수배가 아닌 신호의 샘플링은 서로 다른 값을 갖는 2 ^ n 샘플 블록 내에서 시작되고 끝납니다. 이로인해 시간 신호가 점차 빨라지고 FFT 스펙트럼이 번지 게됩니다. (일명 누출)

FFT Smearing

 스미어드(smeared) 스펙트럼을 가진 윈도우 없는 시간 신호


Windowing

이 번짐을 방지하기 위해, 실제로 "윈도우잉(windowing)"이 신호 샘플에 적용 됩니다. 가중 함수를 사용하면 신호 샘플이 다소 부드럽게 켜지거나 꺼집니다. 결과는 샘플링된 "윈도우윙"신호가 진폭 0에서 시작하고 끝나는 것입니다. 샘플은 이제 하드 전환없이 주기적으로 반복될 수 있습니다.

Windowed time signal FFT

 스펙트럼이 있는 윈도우화 된 시간 신호

실질적인 예
신호 이론의 고전적인 예는 구형파 신호의 스펙트럼 구성 입니다. 이것은 기본 주파수의 모든 가중 기수 배수의 합으로 구성 됩니다.
 

Formula Square Wave

이 비디오는 시간신호 및 스펙트럼으로 500Hz 방형파 생성을 보여줍니다.


측정 방법?
휴대용 오디오 및 음향 분석기 XL2는 최대 20kHz의 빠르고 간단한 FFT 분석에 이상적 입니다. 다중 채널 및 보다 자세한 분석 또는 계산을 위해서는 FLEXUS FX100 오디오 분석기와 같이 대역폭이 크고 빠른 신호 프로세서가있는보다 강력한 시스템이 필요 합니다. FX-Control PC 소프트웨어와 함께 FFT는 측정 요구 사항에 따라 쉽고 빠르게 적응 및 시각화할 수 있습니다. FLEXUS FX100의 내부 메모리가 크기 때문에 블록 길이가 상당히 길어지므로 주파수 분해능이 훨씬 높아집니다.

질문 있습니까?   NTi Audio에 문의하십시오.
FX100 오디오 분석기 자세히보기 FX100 Audio Analyzer
오디오 및 음향 분석기에 대한 추가 정보 XL2 Audio and Acoustic Analyzer

FFT Further Considerations

여기에서는 FFT 측정의 실제 적용에 도움이되는 특정 측면을 다룹니다. FFT 측정은 수많은 응용 분야에서 사용됩니다. 측정 결과는 일반적으로 그래프로 표시되기 때문에 알아보기 쉽습니다. 정확한 FFT 측정을 위해서는 몇 가지 주의 할 사항이 있습니다.

위 글에서 설명한 것처럼 측정 시스템의 샘플링 속도 fs와 블록 길이 BL은 FFT의 두 가지 중심 매개 변수입니다. 샘플링 속도는 분석할 아날로그 신호가 얼마나 자주 스캔되는지를 나타냅니다. 예를 들어, 시판되는 PC 사운드 카드를 통해 wav 파일을 녹음 할 때, 오디오 신호는 일반적으로 초당 44,100 회 샘플링됩니다.

나이키스트 정리(Nyquist Theorem)

Harry Nyquist는 아날로그 신호 샘플링에서 기본 규칙을 발견한 사람입니다. 샘플링 주파수는 신호의 최고 주파수의 두 배 이상 이어야합니다. 예를 들어, 최대 24kHz의 주파수를 포함하는 신호를 샘플링하려면 이 목적을 위해 최소 48kHz의 샘플링 속도가 필요합니다. 이 예제에서 24kHz의 절반인 샘플링 속도를 "Nyquist frequency"라고합니다.
하지만 나이키스트(Nyquist) 주파수 이상의 신호가 시스템에 공급되면 어떻게 되는지 다음과 같이 알아보겠습니다.

앨리어싱(Aliasing)

대부분의 경우 신호는 더 많은 수의 샘플로 샘플링됩니다. 예를 들어 48kHz 샘플링 속도를 사용하면 6kHz 주파수가 사이클 당 8 회 샘플링되는 반면 12kHz 주파수는 사이클 당 4 회만 샘플링됩니다. 나이키스트 주파수에서는 사이클 당 2 개의 샘플만 사용할 수 있습니다.
2 개 이상의 샘플을 사용하면 신호를 손실없이 재구성 할 수 있지만 2 개 미만의 샘플이 사용 가능한 경우 샘플링된(원래) 신호에서 발생하지 않는 아티팩트가 생성됩니다.



미러 주파수(Mirror frequencies)

FFT에서 이러한 아티팩트는 미러 주파수로 나타납니다. 나이키 스트 주파수를 초과하면 신호가 이 가상 한계에 반영되어 유용한 주파수 대역으로 되돌아갑니다. 다음 비디오는 44.1 kHz 샘플링 속도의 FFT 시스템을 보여줍니다. 이 시스템에는 15kHz ~ 25kHz의 스윕 신호가 공급됩니다.



이러한 원치 않는 미러 주파수는 스캔 전에 아날로그 저역 통과 필터 (앤티 앨리어싱 필터)로 대응됩니다. 필터는 나이키스트 주파수 이상의 주파수가 억제되도록합니다.

시간 창(Time window)

주기적인 연속 신호의 경우, 타임 윈도우 설정 기능은 스캔 종료 시 원하지 않는 전환 점프를 매끄럽게 하는 역할을 합니다(파트 1 참조). 이렇게 하면 스펙트럼의 얼룩을 방지할 수 있습니다. 창에는 여러 종류가 있는데, 일부 창은 약간만 다릅니다. 시간 창을 선택할 때 다음 규칙이 적용됩니다. 각 창에는 주파수 선택률과 진폭 정확도가 절충되어야 합니다.

FFT Windows

 
스펙트럼 평균화

노이즈나 음악과 같은 비주기적 신호 분석에서는 여러 FFT 블록을 캡처하고 여기서 평균 값을 결정하는 것이 종종 유리합니다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있을 수 있습니다:

  1. 고전 평균: 다수의 FFT가 측정됩니다. 각 결과는 평균 최종 결과에서 동일한 부품으로 간주됩니다. 이 방법은 정의된 지속 시간 측정에 적합합니다.
  2. 지수 평균: FFT는 연속적으로 측정됩니다. 여기서도 연속 측정 결과의 고정 개수가 고려됩니다. 그러나 가중치는 결과의 '연령'에 반비례합니다. 가장 오래된 측정값은 가장 적게 고려되며, 가장 최근의 측정은 평균 결과에 가장 효과적으로 기여합니다. 이 지수 평균은 스펙트럼이 장기간에 걸쳐 지속적으로 모니터링될 때 사용됩니다.

FFT Averaging

 
Power vs. Peak detector

최신 고해상도 FFT 분석기는 FFT 블록 길이에서 측정 결과의 수를 분리할 수 있는 기능을 제공합니다. 따라서 특히 고해상도 FFT의 측정 성능 시간이 증가합니다. 따라서 예를 들어, 블록 길이가 2MB인 경우 더 이상 100만 포인트(bins)를 측정하고 표시할 필요가 없으며 디스플레이에 필요한 숫자(예: 1024)만 지정할 수 있습니다.
각 FFT 빈에 대해 선택한 값은 두 가지 방법으로 정의할 수 있습니다:

  1. "MaxPeak": 이 경우 FFT 결과의 최대값을 사용합니다. 이 유형은 FFT의 시각적 표현에 적합합니다.
  2. "Power": FFT 결과를 요약하고 정력적으로 평균을 냅니다. 이는 FFT를 계산에 사용할 때 필요합니다.

FFT 결과를 사용한 계산

FFT는 주로 신호를 시각화하는 데 사용됩니다. 그러나 FFT 결과를 계산에 사용하는 애플리케이션도 있습니다. 예를 들어 정의된 주파수 대역의 매우 간단한 수준은 RSS(Root Sum Square) 알고리즘을 통해 추가할 수 있습니다.

또 다른 애플리케이션은 스펙트럼의 비교입니다. 아래 예제는 무선 드라이버의 음향 측정을 보여줍니다. 측정된 스펙트럼은 정의된 기준 스펙트럼에서 뺍니다. 이 차이는 상한 및 하한 공차와 비교됩니다. 위쪽 스펙트럼에는 무선 드라이버가 표시됩니다. 아래쪽에서 음향 스펙트럼은 검사 시료에 결함이 있음을 나타냅니다.

Differential FFT OK Differential FFT NOK


FFT 측정 테스트 솔루션에 대해 자세히 알고 싶으시면 아래의 링크를 참조하여 주시길 바랍니다.

FX100 Audio Analyzer   XL2 Audio and Acoustic Analyzer