Transformación rápida de Fourier FFT - Conceptos básicos

La "Transformación rápida de Fourier", FFT para abreviar, es un importante método de medición en la tecnología de medición de audio y acústica. Descompone una señal en sus componentes espectrales individuales y así proporciona información sobre su composición. Los FFT se utilizan para el análisis de errores, el control de calidad y la monitorización de las condiciones de las máquinas o sistemas. Este artículo explica el cálculo del FFT, los parámetros relevantes y sus efectos en el resultado de la medición..

Estrictamente hablando, la FFT es un algoritmo optimizado para implementar la "Transformación Discreta de Fourier", o DFT para abreviar. En este proceso, una sección limitada en el tiempo de una señal se descompone en sus componentes. Estos componentes son oscilaciones sinusoidales simples a frecuencias discretas, cuya amplitud y fase están determinadas. El FFT permite así la vista de una señal en el dominio de la frecuencia.

 

 

Paso a paso

En el primer paso, se toma una muestra de una sección de la señal que se va a medir y se almacena en la memoria para su posterior procesamiento. Dos parámetros son relevantes aquí:

1. La tasa de muestreo fs del sistema de medición (por ejemplo, 48 kHz)
2. El número seleccionado de muestras a muestrear: la longitud del bloque BL. En la FFT esto es siempre una potencia entera a la base 2ª (por ejemplo 2^10 = 1024 muestras).

Los dos parámetros centrales fs y BL pueden utilizarse ahora para determinar otros parámetros de la medición.

Ancho de banda fn (= frecuencia de Nyquist). Este valor indica la frecuencia máxima teórica que puede ser determinada por el FFT.

Con una frecuencia de muestreo de 48 kHz, pueden determinarse teóricamente componentes de la señal de hasta 24 kHz. Con los sistemas analógicos, el valor prácticamente alcanzable suele ser algo menor, por ejemplo 20 kHz, debido al uso de filtros analógicos.

Duración de la medición D.La duración de la medición se calcula a partir de la tasa de muestreo fs y la longitud del bloque.

D = BL / fs

A fs = 48 kHz y BL = 1024 esto resulta en 1024/48000 Hz = 21.33 ms

Resolución de frecuencia df.. La resolución de la frecuencia indica la diferencia de frecuencia entre dos resultados de medición.

df = fs / BL

A fs = 48 kHz y BL = 1024 esto resulta en un df von 48000 Hz/1024 = 46.88 Hz

En la práctica, la frecuencia de muestreo fs suele ser un valor dado por el sistema. Sin embargo, la duración de la medición y la resolución de la frecuencia pueden definirse seleccionando la longitud del bloque BL. Se aplica:

• Una pequeña longitud de bloque da como resultado rápidas repeticiones de medición con una resolución de frecuencia gruesa.
• Una gran longitud de bloque resulta en repeticiones de medición más lentas con una resolución de frecuencia fina.

 

Por siempre y para siempre...

Con la Transformación de Fourier, se aplica el supuesto de que la sección de la señal muestreada se repite periódicamente durante un período de tiempo infinito. De esto se desprenden dos conclusiones:

1. El FFT sólo es adecuado para señales periódicas.
2. La sección de la señal muestreada debe contener un número entero de períodos.

Se puede ver que especialmente la condición 2. sólo se aplicaría a muy pocas señales. El muestreo de una señal cuyas frecuencias no son múltiplos enteros de df comenzaría y terminaría con valores diferentes dentro de un bloque de muestras de 2^n. Esto resulta en un salto en la señal de tiempo, y en un espectro FFT " manchado" (efecto de "fuga").

Ventana

Para evitar estas manchas, en la práctica se utiliza el "windowing" de la sección de señales. La sección de la señal se desvanece más o menos suavemente usando una función de ponderación. Esto asegura que la señal muestreada y luego "ventana" comienza y termina en amplitud cero. La sección puede ahora repetirse periódicamente sin una transición difícil.

Un ejemplo práctico

Un ejemplo clásico de la teoría de la señal es la composición espectral de una señal de onda cuadrada. Consiste en la suma de todos los múltiplos ponderados de la frecuencia fundamental.

Este video muestra la aparición de una señal de onda cuadrada de 500 Hz como señal de tiempo y espectro.

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¿Cómo medir?

Para un rápido y fácil análisis de FFT hasta unos 20 kHz, el analizador portátil de audio y acústica XL2 es ideal. Para los análisis o cálculos multicanal y más detallados, se requiere un sistema moderno con un amplio ancho de banda y rápidos procesadores de señal como el Analizador de Audio FLEXUS FX100. Junto con el software de PC FX Control, la FFT puede ser ajustada y visualizada fácil y rápidamente de acuerdo a los requerimientos de medición. Gracias a la mayor memoria interna del FLEXUS FX100, se pueden procesar longitudes de bloque mucho mayores, lo que resulta en una resolución de frecuencia mucho más fina.

La segunda parte de este artículo trata de aspectos especiales que son útiles en el manejo práctico de las mediciones de FFT. Las mediciones de FFT se utilizan en numerosas aplicaciones. Los resultados suelen presentarse en forma de gráfico y son fáciles de interpretar. Sin embargo, hay algunos requisitos previos necesarios para una correcta y precisa medición de FFT. Este artículo da valiosos consejos para esto.

Como se explica en la primera parte, la frecuencia de muestreo fs del sistema de medición y la longitud de bloque BL son los dos parámetros centrales de un FFT. La frecuencia de muestreo indica la frecuencia con la que se muestrea la señal analógica que se va a analizar. Cuando se graban archivos wav a través de una tarjeta de sonido de PC estándar, la señal de audio suele ser muestreada 44100 veces por segundo.

Teorema de Nyquist

Harry Nyquist fue el descubridor de una regla fundamental en el muestreo de señales analógicas: La frecuencia de muestreo debe ser al menos dos veces la frecuencia de la señal superior de interés. Por ejemplo, si se va a muestrear una señal que contenga frecuencias de hasta 24 kHz, se requiere una frecuencia de muestreo de al menos 48 kHz. La mitad de la tasa de muestreo se llama "frecuencia de Nyquist".
But what happens if signals above the Nyquist frequency are fed in to the system?

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Normalmente se toma una muestra de un período de señal (es decir, una onda sinusoidal) con un número suficiente de muestras. Una señal de 6 kHz con una frecuencia de muestreo de 48 kHz, por ejemplo, todavía tiene 8 muestras. A 12 kHz sólo hay 4 muestras disponibles. En la frecuencia de Nyquist sólo 2 muestras. Con 2 o más muestras, es posible reconstruir la señal sin pérdida. Sin embargo, si se dispone de menos de 2 muestras, se crean componentes de la señal que no aparecen en absoluto en la señal muestreada (original).

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Frecuencias de espejo

En la FFT, estas señales aparecen como frecuencias espejo. Si se supera la frecuencia de Nyquist, la señal se refleja en este límite imaginario y vuelve a caer en la banda de frecuencia útil. El siguiente video muestra un sistema FFT con una frecuencia de muestreo de 44,1 kHz. Este sistema se alimenta de una señal de barrido de 15 kHz a 25 kHz.

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Estas frecuencias de espejo no deseadas son contrarrestadas por un filtro analógico de paso bajo antes del muestreo (filtro anti-aliasing). El filtro asegura que las frecuencias por encima de la frecuencia de Nyquist sean suprimidas.

Ventana de tiempo

Con señales continuas periódicas, la ventana de tiempo sirve para suavizar los saltos de transición no deseados al final del muestreo. (véase la Parte 1) Esto evita que se manche el espectro. Hay numerosos tipos de ventanas, algunas de las cuales sólo se diferencian en los matices. La siguiente regla básica se aplica al seleccionar la ventana de tiempo: Cada ventana requiere un compromiso entre la selectividad de la frecuencia y la precisión de la amplitud.

 
Promedio de los espectros

Cuando se analizan señales no periódicas, como el ruido o la música, a menudo es ventajoso adquirir varios bloques FFT y determinar valores promedio de ellos. Hay dos procedimientos posibles:

1. El promedio clásico: Aquí se miden un número de FFTs. Cada resultado fluye en el resultado final promediado en partes iguales. Este método es adecuado para las mediciones con una duración definida.
2. Promedio exponencial: Aquí los FFT se miden continuamente. Aquí también, un número fijo de resultados de las mediciones continuas fluyen en el promedio. Sin embargo, la ponderación es inversamente proporcional a la "edad" del resultado. La más antigua de las mediciones es la que menos se considera, la más reciente contribuye más al resultado promediado. El promedio exponencial se utiliza cuando el espectro se ve continuamente durante un período de tiempo más largo.

 
Potencia vs. Detector de Picos

Los modernos analizadores de FFT de alta resolución ofrecen la posibilidad de desacoplar el número de resultados de las mediciones de la longitud del bloque de FFT. Esto acelera la medición, especialmente con las FFT de alta resolución. Por ejemplo, con una longitud de bloque de 2MB, ya no es necesario procesar y visualizar > 1 millón de puntos de medición (bins), sino sólo el número necesario para la visualización, por ejemplo, 1024.
Este resumen de los cubos (Bins) de FFT se puede hacer de dos maneras:

1. "MaxPeak": Aquí se utiliza el valor máximo de los resultados de la FFT resumidos. Este tipo es muy adecuado para la representación visual de las FFT
2. "Potencia": Aquí los resultados de la FFT son sumados energéticamente. Esto es necesario si los FFT se usan para los cálculos.
    

Cálculos con los resultados de la FFT

Las FFT se utilizan principalmente para la visualización de señales. Sin embargo, también hay aplicaciones en las que se calculan los resultados de la FFT. Por ejemplo, los niveles de las bandas de frecuencia definidas pueden calcularse muy fácilmente sumándolos mediante un algoritmo RSS (Root Sum Square).

Otra aplicación es la formación diferencial de los espectros. El ejemplo siguiente muestra una medición acústica de un destornillador inalámbrico. El espectro medido se sustrae de un espectro de referencia una vez definido. Esta diferencia se compara con una tolerancia superior e inferior. El espectro superior muestra un destornillador inalámbrico intacto. En el ejemplo siguiente, la caja de cambios de la muestra de prueba está defectuosa.

Más sobre las soluciones de medición de FFT:

Analizador de audio FX100   Analizador acústico y de audio XL2