Transformação rápida de Fourier FFT - Noções básicas

A "Fast Fourier Transform" (FFT) é um método de medição importante na ciência da medição de áudio e acústica. Ela converte um sinal em componentes espectrais individuais e assim fornece informações de frequência sobre o sinal. As FFTs são usadas para análise de falhas, controle de qualidade e monitoramento de condições de máquinas ou sistemas. Este artigo explica como funciona uma FFT, os parâmetros relevantes e seus efeitos no resultado da medição.

Estritamente falando, a FFT é um algoritmo otimizado para a implementação do "Discrete Fourier Transformation" (DFT). Um sinal é amostrado durante um período de tempo e dividido em seus componentes de frequência. Estes componentes são oscilações sinusoidais únicas em frequências distintas, cada um com a sua própria amplitude e fase. Esta transformação é ilustrada no diagrama seguinte. Ao longo do período de tempo medido, o sinal contém 3 frequências dominantes distintas.

FFT Time Frequency View (visão de freqüência de tempo de FFT)

Visualização de um sinal no domínio do tempo e da frequência

 


Passo a passo

No primeiro passo, uma parte do sinal é escaneada e armazenada na memória para processamento posterior. Dois parâmetros são relevantes:

  1. A taxa de amostragem ou frequência de amostragem fs do sistema de medição (por exemplo, 48 kHz). Número médio de amostras obtidas num segundo (amostras por segundo).
  2. O número selecionado de amostras; o comprimento de bloco BL. Esta é sempre uma potência inteira para a base 2 na FFT (por exemplo, 2^10 = 1024 amostras)

A partir dos dois parâmetros básicos fs e BL, podem ser determinados outros parâmetros da medição.

Largura de bandafn (= frequência Nyquist). Este valor indica a frequência máxima teórica que pode ser determinada pela FFT.

fn = fs / 2
 

Por exemplo, a uma taxa de amostragem de 48 kHz, os componentes de frequência até 24 kHz podem ser teoricamente determinados. No caso de um sistema analógico, o valor praticamente alcançável está geralmente um pouco abaixo disso, devido a filtros analógicos - por exemplo, a 20 kHz.

Duração da medição D. A duração da medição é dada pela taxa de amostragem fs e pelo comprimento de bloco BL.

D = BL / fs.

A fs = 48 kHz e BL = 1024, isto rende 1024/48000 Hz = 21.33 ms

Resolução de frequência df. A resolução de frequência indica o espaçamento de frequência entre dois resultados de medição.

df = fs / BL

A fs = 48 kHz e BL = 1024, isto dá um df de 48000 Hz / 1024 = 46,88 Hz.

Na prática, a frequência de amostragem fs é geralmente uma variável dada pelo sistema. No entanto, ao selecionar o comprimento de bloco BL, a duração da medição e a resolução de frequência podem ser definidas. Aplica-se o seguinte:

  • Um pequeno comprimento de bloco resulta em rápidas repetições de medição com uma resolução de frequência grosseira.
  • Um grande comprimento de bloco resulta em repetições de medição mais lentas com resolução de frequência fina

 

FFT Comprimento do bloco

 Representação do FFT de um sinal com comprimento de bloco pequeno e grande

Ao Infinity...

Na transformação de Fourier, o pressuposto é que o segmento de sinal amostrado é repetido periodicamente por um período de tempo infinito. Isto traz duas conclusões

  1. A FFT só é adequada para sinais periódicos.
  2. O segmento de sinal amostrado deve conter um número inteiro de períodos.

Pode-se ver que a condição 2. se aplica apenas a muito poucos sinais. A amostragem de um sinal cujas frequências não são um inteiro múltiplo de df começaria e terminaria dentro de um bloco de 2^n amostras com valores diferentes. Isso resulta em um salto no sinal de tempo, e um espectro FFT "manchado". (também conhecido como Vazamento)

FFT Smearing

Sinal horário sem janelas com espectro manchado

Windowing

Para evitar esta mancha, na prática, o "windowing" é aplicado à amostra de sinal. Usando uma função de ponderação, a amostra de sinal é mais ou menos suavemente ligada e desligada. O resultado é que o sinal amostrado e subsequente "janelado" começa e termina na amplitude zero. A amostra pode agora ser repetida periodicamente sem uma transição difícil.

Windowed time signal FFT

 Sinal horário em janela com espectro

Um exemplo prático

Um exemplo clássico da teoria dos sinais é a composição espectral de um sinal de onda quadrada. Esta consiste na soma de todos os múltiplos ímpares ponderados da frequência fundamental.

Formula Square Wave

This video shows the creation of a 500 Hz square wave as a time signal and spectrum.

Como medir?

O analisador portátil de áudio e acústico XL2 é ideal para análises FFT rápidas e simples até 20 kHz. Para análises ou cálculos multi-canal e mais detalhados, é necessário um sistema mais potente com grande largura de banda e processadores de sinais rápidos como o FLEXUS FX100 Audio Analyzer. Em conjunto com o software FX-Control PC, o FFT pode ser fácil e rapidamente adaptado e visualizado de acordo com os requisitos da medição. A maior memória interna do FLEXUS FX100 permite o processamento de comprimentos de bloco significativamente maiores, resultando em uma resolução de frequência muito mais fina. Traduzido com www.DeepL.com/Translator

FFT Further Considerations

This second part of this article deals with specific aspects that are helpful in the practical application of FFT measurements. FFT measurements are used in numerous applications. The results are usually presented as graphs and are easy to interpret. For accurate FFT measurements, there are some things to look out for. This article provides valuable tips.

As explained in the first part, the sampling rate fs of the measuring system and the block length BL are the two central parameters of an FFT. The sampling rate indicates how often the analog signal to be analyzed is scanned. When recording wav files via a commercially-available PC sound card, for example, the audio signal is usually sampled 44,100 times per second.

Nyquist Theorem

Harry Nyquist was the discoverer of a fundamental rule in the sampling of analog signals: the sampling frequency must be at least double the highest frequency of the signal. If, for example, a signal containing frequencies up to 24 kHz is to be sampled, a sampling rate of at least 48 kHz is required for this purpose. Half the sampling rate, in this example 24 kHz,  is called the "Nyquist frequency".
But what happens if signals above the Nyquist frequency are fed in to the system?

Aliasing

For the most, a signal is sampled with a more-than-sufficient number of samples. With a 48 kHz sampling rate, for example, the 6 kHz frequency is sampled 8 times per cycle, while the 12 kHz frequency is only sampled 4 times per cycle. At the Nyquist frequency, only 2 samples are available per cycle.
With 2 samples or more it is still possible to reconstruct the signal without loss. If, however, less than 2 samples are available, artifacts which do not occur in the sampled (original) signal are generated.



Mirror frequencies

In the FFT, these artifacts appear as mirror frequencies. If the Nyquist frequency is exceeded, the signal is reflected at this imaginary limit and falls back into the useful frequency band. The following video shows an FFT system with 44.1 kHz sampling rate. A sweep signal of 15 kHz to 25 kHz is fed in to this system.



These unwanted mirror frequencies are counteracted with an analog low-pass filter (anti-aliasing filter) before the scanning. The filter ensures that frequencies above the Nyquist frequency are suppressed.

Time window

In the case of periodically-continuous signals, the time windowing serves to smooth the undesired transitional jumps at the end of the scanning (see part 1). This prevents smearing in the spectrum. There are numerous types of windows, some of which differ only slightly. When selecting the time window, the following rule applies: Each window requires a compromise between frequency selectivity and amplitude accuracy.

FFT Windows

 
Averaging of Spectra

In the analysis of non-periodic signals, e.g. noise or music, it is often advantageous to capture multiple FFT blocks and determine mean values therefrom. There are two possible approaches:

  1.  The classical mean: A number of FFTs are measured. Each result is considered in equal parts in the averaged final result. This method is suitable for measurements with a defined duration.
  2. The exponential mean: FFTs are continuously measured. Here, too, a fixed number of results of the continuous measurements are considered. However, the weighting is inversely proportional to the 'age' of the result. The oldest of the measurements is taken the least into account, the most recent measurement contributes most effectively to the averaged result. This exponential average is used when the spectrum is continuously monitored over a long period of time.

FFT Averaging

 
Power vs. Peak detector

Modern high-resolution FFT analyzers offer the possibility to decouple the number of measurement results from the FFT block length. This results in an increase in measurement performance time, especially for high-resolution FFTs. Thus, for example, with a 2MB block length it is no longer necessary to measure and represent more than 1 Million points (bins), but only the number necessary for the display, e.g. 1024.
The value chosen for each FFT bin can be defined in two ways:

  1. "MaxPeak": Here the maximum value of the FFT results is used. This type is well suited for the visual representation of FFTs
  2. "Power": Here the FFT results are summed up and averaged energetically. This is necessary when the FFT is used for calculations.
     

Calculations with FFT results

FFTs are mainly used to visualize signals. However, there are also applications where FFT results are used in calculations. For example, very simple levels of defined frequency bands can be calculated by adding them via an RSS (Root Sum Square) algorithm.

Another application is the comparison of spectra. The example below shows an acoustic measurement of a cordless screwdriver. The measured spectrum is subtracted from a defined reference spectrum. This difference is compared against an upper and lower tolerance. The upper spectrum shows a functional cordless screwdriver. In the lower, the acoustic spectrum suggests that the test specimen is defective.

Differential FFT OK Differential FFT NOK


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FX100 Audio Analyzer   XL2 Audio and Acoustic Analyzer