Transformation de Fourier rapide (FFT)

Dans la première étape, une section du signal est scannée et stockée dans la mémoire pour un traitement ultérieur. Deux paramètres sont pertinents :

La fréquence d’échantillonnage ou la fréquence d’échantillonnage fs du système de mesure (par exemple, 48 kHz). Il s’agit du nombre moyen d’échantillons obtenus en une seconde (échantillons par seconde).
Le nombre d’échantillons sélectionné ; la longueur de bloc BL. Il s’agit toujours d’une puissance entière à la base 2 dans la FFT (par exemple, 2^10 = 1024 échantillons)

À partir des deux paramètres de base fs et BL, d’autres paramètres de la mesure peuvent être déterminés.

Bande passante fn (= fréquence de Nyquist). Cette valeur indique la fréquence maximale théorique qui peut être déterminée par la FFT.

fn = fs / 2

Par exemple, à une fréquence d’échantillonnage de 48 kHz, les composantes de fréquence jusqu’à 24 kHz peuvent être théoriquement déterminées. Dans le cas d’un système analogique, la valeur réalisable en pratique est généralement un peu inférieure, en raison des filtres analogiques, par exemple à 20 kHz.

Durée de mesure D. La durée de mesure est donnée par la fréquence d’échantillonnage fs et la longueur de bloc BL.

D = BL / fs.

À fs = 48 kHz et BL = 1024, cela donne 1024/48000 Hz = 21,33 ms

Résolution de fréquence df. La résolution de fréquence indique l’espacement de fréquence entre deux résultats de mesure.

df = fs / BL

À fs = 48 kHz et BL = 1024, cela donne un df de 48000 Hz / 1024 = 46,88 Hz.

En pratique, la fréquence d’échantillonnage fs est généralement une variable donnée par le système. Cependant, en sélectionnant la longueur de bloc BL, la durée de mesure et la résolution de fréquence peuvent être définies. Ce qui suit s’applique :

Une petite longueur de bloc entraîne des répétitions de mesure rapides avec une résolution de fréquence grossière.
Une grande longueur de bloc entraîne des répétitions de mesure plus lentes avec une résolution de fréquence fine.

Dans la transformation de Fourier, l’hypothèse est que le segment de signal échantillonné est répété périodiquement pendant une période infinie. Cela amène deux conclusions :

1. La FFT ne convient qu’aux signaux périodiques.
2. Le segment de signal échantillonné doit contenir un nombre entier de périodes.

On peut constater que la condition 2. ne s’appliquerait qu’à très peu de signaux. L’échantillonnage d’un signal dont les fréquences ne sont pas un multiple entier de df commencerait et se terminerait dans un bloc de 2^n échantillons avec des valeurs différentes. Il en résulte un saut dans le signal temporel et un spectre FFT « étalé ». (alias Fuite)

Signal temporel non fenêtré avec spectre étalé

Afin d’éviter cet étalement, en pratique, un « fenêtrage » est appliqué à l’échantillon de signal. À l’aide d’une fonction de pondération, l’échantillon de signal est plus ou moins doucement activé et désactivé. Il en résulte que le signal échantillonné et le signal « fenêtré » ultérieur commencent et se terminent à l’amplitude zéro. L’échantillon peut maintenant être répété périodiquement sans transition brusque.

Signal temporel fenêtré avec spectre

L’analyseur audio et acoustique portable XL2 est idéal pour une analyse FFT simple et rapide jusqu’à 20 kHz. Pour une analyse ou des calculs multicanaux et plus détaillés, un système plus puissant avec une large bande passante et des processeurs de signaux rapides tels que l’analyseur audio FLEXUS FX100 est nécessaire. En conjonction avec le logiciel PC FX-Control, la FFT peut être facilement et rapidement adaptée et visualisée en fonction des exigences de la mesure. La plus grande mémoire interne du FLEXUS FX100 permet de traiter des longueurs de bloc nettement plus longues, ce qui se traduit par une résolution de fréquence beaucoup plus fine.

Cette deuxième partie de cet article traite d’aspects spécifiques qui sont utiles dans l’application pratique des mesures FFT. Les mesures FFT sont utilisées dans de nombreuses applications. Les résultats sont généralement présentés sous forme de graphiques et sont faciles à interpréter. Pour des mesures FFT précises, il y a certaines choses à surveiller. Cet article fournit des conseils précieux.

Comme expliqué dans la première partie, la fréquence d’échantillonnage fs du système de mesure et la longueur de bloc BL sont les deux paramètres centraux d’une FFT. La fréquence d’échantillonnage indique la fréquence à laquelle le signal analogique à analyser est scanné. Lors de l’enregistrement de fichiers wav via une carte son PC disponible dans le commerce, par exemple, le signal audio est généralement échantillonné 44 100 fois par seconde.

Théorème de Nyquist

Harry Nyquist a été le découvreur d’une règle fondamentale dans l’échantillonnage des signaux analogiques : la fréquence d’échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence la plus élevée du signal. Si, par exemple, un signal contenant des fréquences jusqu’à 24 kHz doit être échantillonné, une fréquence d’échantillonnage d’au moins 48 kHz est requise à cet effet. La moitié de la fréquence d’échantillonnage, dans cet exemple 24 kHz, est appelée la « fréquence de Nyquist ».
Mais que se passe-t-il si des signaux supérieurs à la fréquence de Nyquist sont introduits dans le système ?

Dans le cas de signaux périodiquement continus, le fenêtrage temporel sert à lisser les sauts transitionnels indésirables à la fin du balayage (voir partie 1). Cela empêche l’étalement dans le spectre. Il existe de nombreux types de fenêtres, dont certaines ne diffèrent que légèrement. Lors de la sélection de la fenêtre temporelle, la règle suivante s’applique : chaque fenêtre nécessite un compromis entre la sélectivité de fréquence et la précision de l’amplitude.

Dans l’analyse des signaux non périodiques, par exemple le bruit ou la musique, il est souvent avantageux de capturer plusieurs blocs FFT et de déterminer les valeurs moyennes à partir de ceux-ci. Il existe deux approches possibles :

1. La moyenne classique : un certain nombre de FFT sont mesurées. Chaque résultat est considéré en parts égales dans le résultat final moyenné. Cette méthode convient aux mesures avec une durée définie.
2. La moyenne exponentielle : les FFT sont mesurées en continu. Ici aussi, un nombre fixe de résultats des mesures continues sont pris en compte. Cependant, la pondération est inversement proportionnelle à « l’âge » du résultat. La plus ancienne des mesures est la moins prise en compte, la mesure la plus récente contribue le plus efficacement au résultat moyenné. Cette moyenne exponentielle est utilisée lorsque le spectre est surveillé en continu sur une longue période de temps.

Les analyseurs FFT modernes à haute résolution offrent la possibilité de découpler le nombre de résultats de mesure de la longueur de bloc FFT. Il en résulte une augmentation du temps de performance de la mesure, en particulier pour les FFT à haute résolution. Ainsi, par exemple, avec une longueur de bloc de 2 Mo, il n’est plus nécessaire de mesurer et de représenter plus d’un million de points (bins), mais seulement le nombre nécessaire pour l’affichage, par exemple 1024.
La valeur choisie pour chaque bin FFT peut être définie de deux manières :

1. « MaxPeak » : ici, la valeur maximale des résultats FFT est utilisée. Ce type est bien adapté à la représentation visuelle des FFT
2. « Puissance » : ici, les résultats FFT sont additionnés et moyennés énergétiquement. Ceci est nécessaire lorsque la FFT est utilisée pour les calculs.

Les FFT sont principalement utilisées pour visualiser les signaux. Cependant, il existe également des applications où les résultats FFT sont utilisés dans les calculs. Par exemple, des niveaux très simples de bandes de fréquences définies peuvent être calculés en les additionnant via un algorithme RSS (Root Sum Square).

Une autre application est la comparaison des spectres. L’exemple ci-dessous montre une mesure acoustique d’un tournevis sans fil. Le spectre mesuré est soustrait d’un spectre de référence défini. Cette différence est comparée à une tolérance supérieure et inférieure. Le spectre supérieur montre un tournevis sans fil fonctionnel. Dans le spectre inférieur, le spectre acoustique suggère que l’échantillon testé est défectueux.