Schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Im ersten Schritt wird ein Abschnitt des Signals abgetastet und zur Weiterverarbeitung im Speicher abgelegt. Zwei Parameter sind relevant:

Die Abtastrate oder Abtastfrequenz fs des Messsystems (z. B. 48 kHz). Dies ist die durchschnittliche Anzahl der in einer Sekunde erhaltenen Samples (Samples pro Sekunde).
Die gewählte Anzahl der Samples; die Blocklänge BL. Dies ist in der FFT immer eine ganzzahlige Potenz zur Basis 2 (z. B. 2^10 = 1024 Samples).

Aus den beiden grundlegenden Parametern fs und BL lassen sich weitere Parameter der Messung bestimmen.

Bandbreite fn (= Nyquist-Frequenz). Dieser Wert gibt die theoretische maximale Frequenz an, die durch die FFT bestimmt werden kann.

fn = fs / 2

Beispielsweise können bei einer Abtastrate von 48 kHz Frequenzkomponenten bis zu 24 kHz theoretisch bestimmt werden. Bei einem analogen System liegt der praktisch erreichbare Wert aufgrund von analogen Filtern in der Regel etwas darunter – z. B. bei 20 kHz.

Messdauer D. Die Messdauer ergibt sich aus der Abtastrate fs und der Blocklänge BL.

D = BL / fs.

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies 1024/48000 Hz = 21,33 ms

Frequenzauflösung df. Die Frequenzauflösung gibt den Frequenzabstand zwischen zwei Messergebnissen an.

df = fs / BL

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies ein df von 48000 Hz / 1024 = 46,88 Hz.

In der Praxis ist die Abtastfrequenz fs in der Regel eine vom System vorgegebene Variable. Durch die Wahl der Blocklänge BL können jedoch die Messdauer und die Frequenzauflösung definiert werden. Es gilt:

Eine kleine Blocklänge führt zu schnellen Messwiederholungen mit einer groben Frequenzauflösung.
Eine große Blocklänge führt zu langsameren Messwiederholungen mit feiner Frequenzauflösung.

Bei der Fourier-Transformation wird davon ausgegangen, dass das abgetastete Signalsegment für einen unendlichen Zeitraum periodisch wiederholt wird. Daraus ergeben sich zwei Schlussfolgerungen:

1. Die FFT ist nur für periodische Signale geeignet.
2. Das abgetastete Signalsegment muss eine ganze Anzahl von Perioden enthalten.

Es ist ersichtlich, dass Bedingung 2. nur auf sehr wenige Signale zutreffen würde. Die Abtastung eines Signals, dessen Frequenzen kein ganzzahliges Vielfaches von df sind, würde innerhalb eines Blocks von 2^n Samples mit unterschiedlichen Werten beginnen und enden. Dies führt zu einem Sprung im Zeitsignal und einem „verschmierten“ FFT-Spektrum (auch bekannt als Leckage).

Ungefenstertes Zeitsignal mit verschmiertem Spektrum

Um diese Verschmierung zu verhindern, wird in der Praxis eine „Fensterung“ auf das Signal-Sample angewendet. Mithilfe einer Gewichtungsfunktion wird das Signal-Sample mehr oder weniger sanft ein- und ausgeschaltet. Das Ergebnis ist, dass das abgetastete und nachfolgende „gefensterte“ Signal bei Amplitude Null beginnt und endet. Das Sample kann nun periodisch ohne harten Übergang wiederholt werden.

Gefenstertes Zeitsignal mit Spektrum

Der tragbare Audio- und Akustikanalysator XL2 eignet sich ideal für schnelle und einfache FFT-Analysen bis 20 kHz. Für Mehrkanal- und detailliertere Analysen oder Berechnungen ist ein leistungsfähigeres System mit großer Bandbreite und schnellen Signalprozessoren wie der FLEXUS FX100 Audio Analyzer erforderlich. In Verbindung mit der PC-Software FX-Control kann die FFT einfach und schnell an die Anforderungen der Messung angepasst und visualisiert werden. Der größere interne Speicher des FLEXUS FX100 ermöglicht die Verarbeitung deutlich längerer Blocklängen, was zu einer viel feineren Frequenzauflösung führt.

Dieser zweite Teil dieses Artikels befasst sich mit spezifischen Aspekten, die bei der praktischen Anwendung von FFT-Messungen hilfreich sind. FFT-Messungen werden in zahlreichen Anwendungen eingesetzt. Die Ergebnisse werden in der Regel als Grafiken dargestellt und sind leicht zu interpretieren. Für genaue FFT-Messungen gibt es einiges zu beachten. Dieser Artikel gibt wertvolle Tipps.

Wie im ersten Teil erläutert, sind die Abtastrate fs des Messsystems und die Blocklänge BL die beiden zentralen Parameter einer FFT. Die Abtastrate gibt an, wie oft das zu analysierende analoge Signal abgetastet wird. Bei der Aufnahme von WAV-Dateien über eine handelsübliche PC-Soundkarte wird das Audiosignal beispielsweise in der Regel 44.100 Mal pro Sekunde abgetastet.

Nyquist-Theorem

Harry Nyquist war der Entdecker einer grundlegenden Regel bei der Abtastung analoger Signale: Die Abtastfrequenz muss mindestens das Doppelte der höchsten Frequenz des Signals betragen. Wenn beispielsweise ein Signal mit Frequenzen bis zu 24 kHz abgetastet werden soll, ist hierfür eine Abtastrate von mindestens 48 kHz erforderlich. Die Hälfte der Abtastrate, in diesem Beispiel 24 kHz, wird als „Nyquist-Frequenz“ bezeichnet.
Was passiert aber, wenn Signale oberhalb der Nyquist-Frequenz in das System eingespeist werden?

Bei periodisch-kontinuierlichen Signalen dient die Zeitfensterung dazu, die unerwünschten Übergangssprünge am Ende der Abtastung zu glätten (siehe Teil 1). Dies verhindert eine Verschmierung im Spektrum. Es gibt zahlreiche Arten von Fenstern, von denen sich einige nur geringfügig unterscheiden. Bei der Auswahl des Zeitfensters gilt folgende Regel: Jedes Fenster erfordert einen Kompromiss zwischen Frequenzselektivität und Amplitudengenauigkeit.

Bei der Analyse von nicht-periodischen Signalen, z. B. Rauschen oder Musik, ist es oft vorteilhaft, mehrere FFT-Blöcke zu erfassen und daraus Mittelwerte zu bestimmen. Es gibt zwei mögliche Ansätze:

1. Der klassische Mittelwert: Es wird eine Anzahl von FFTs gemessen. Jedes Ergebnis wird zu gleichen Teilen im gemittelten Endergebnis berücksichtigt. Diese Methode eignet sich für Messungen mit einer definierten Dauer.
2. Der exponentielle Mittelwert: FFTs werden kontinuierlich gemessen. Auch hier wird eine feste Anzahl von Ergebnissen der kontinuierlichen Messungen berücksichtigt. Die Gewichtung ist jedoch umgekehrt proportional zum „Alter“ des Ergebnisses. Die älteste der Messungen wird am wenigsten berücksichtigt, die neueste Messung trägt am effektivsten zum gemittelten Ergebnis bei. Dieser exponentielle Mittelwert wird verwendet, wenn das Spektrum über einen langen Zeitraum kontinuierlich überwacht wird.

Moderne hochauflösende FFT-Analysatoren bieten die Möglichkeit, die Anzahl der Messergebnisse von der FFT-Blocklänge zu entkoppeln. Dies führt zu einer Steigerung der Messperformancezeit, insbesondere bei hochauflösenden FFTs. So ist es beispielsweise bei einer 2-MB-Blocklänge nicht mehr notwendig, mehr als 1 Million Punkte (Bins) zu messen und darzustellen, sondern nur die für die Anzeige notwendige Anzahl, z. B. 1024.
Der für jeden FFT-Bin gewählte Wert kann auf zwei Arten definiert werden:

1. „MaxPeak“: Hier wird der Maximalwert der FFT-Ergebnisse verwendet. Dieser Typ eignet sich gut für die visuelle Darstellung von FFTs
2. „Power“: Hier werden die FFT-Ergebnisse summiert und energetisch gemittelt. Dies ist notwendig, wenn die FFT für Berechnungen verwendet wird.

FFTs werden hauptsächlich zur Visualisierung von Signalen verwendet. Es gibt aber auch Anwendungen, bei denen FFT-Ergebnisse in Berechnungen verwendet werden. So lassen sich beispielsweise sehr einfach Pegel definierter Frequenzbänder berechnen, indem man sie über einen RSS-Algorithmus (Root Sum Square) addiert.

Eine weitere Anwendung ist der Vergleich von Spektren. Das folgende Beispiel zeigt eine akustische Messung eines Akku-Schraubers. Das gemessene Spektrum wird von einem definierten Referenzspektrum subtrahiert. Diese Differenz wird mit einer oberen und unteren Toleranz verglichen. Das obere Spektrum zeigt einen funktionierenden Akku-Schrauber. Im unteren Spektrum deutet das akustische Spektrum darauf hin, dass das Prüfmuster defekt ist.