2017年 2月 21日

Was Sie schon immer über FFT wissen wollten…

Teil 1 von 2: Die Grundlagen

Was Sie schon immer über FFT wissen wollten…

Die „Fast Fourier Transformation“, kurz FFT genannt, ist eine wichtige Messmethode in der Audio- und Akustik-Messtechnik. Sie zerlegt ein Signal in einzelne Spektralkomponenten und gibt dadurch Aufschluss über seine Zusammensetzung. FFTs werden zur Fehleranalyse, in der Qualitätskontrolle und in der Zustandsüberwachung von Maschinen oder Systemen eingesetzt. Dieser Artikel erklärt die Berechnung der FFT, die relevanten Parameter und ihre Auswirkungen auf das Messergebnis.

Genau genommen handelt es sich bei der FFT um einen optimierten Algorithmus zur Implementierung der „Diskreten Fourier Transformation“, kurz DFT. Dabei wird ein zeitlich begrenzter Ausschnitt eines Signals in seine Bestandteile zerlegt. Diese Bestandteile sind einzelne Sinus-Schwingung bei diskreten Frequenzen, deren Amplitude und Phase bestimmt werden. Die FFT erlaubt also die Sicht auf ein Signal im Frequenzbereich. 

 

FFT Time Frequency View

 

Sicht auf ein Signal im Zeit- und Frequenzbereich


Schritt für Schritt
Im ersten Schritt wird ein Ausschnitt des zu messenden Signals abgetastet und zur weiteren Verarbeitung im Speicher abgelegt. Dabei sind zwei Parameter relevant:

 

  1. Die Abtastrate fs des Messsystems. (z.B. 48 kHz)
  2. Die gewählte Anzahl von Abtastwerten oder ‚Samples‘, die abgetastet werden sollen: die Blocklänge BL. Diese ist in der FFT immer eine ganzzahlige Potenz zur Basis 2. (z.B. 2^10 = 1024 Samples)

Durch die beiden zentralen Parametern fs und BL können nun weitere Parameter der Messung ermitteln werden.

 

  

Bandbreite fn (= Nyquist Frequenz). Dieser Wert gibt die theoretisch maximale Frequenz an, die durch die FFT bestimmt werden kann.

fn = fs / 2
 

Bei einer Abtastrate von 48 kHz lassen sich also theoretisch Signalanteile bis 24 kHz bestimmen. Bei analogen System liegt der praktisch erreichbare Wert durch die Verwendung von analogen Filtern meist etwas darunter, z.B. bei 20 kHz.

Messdauer D. Die Messdauer ergibt sich aus Abtastrate fs und Blocklänge.

D = BL / fs

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies 1024/48000 Hz = 21.33 ms

Frequenzauflösung df. Die Frequenzauflösung gibt den Frequenzabstand zwischen zwei Mess-Ergebnissen an.

df = fs / BL

Bei fs = 48 kHz und BL = 1024 ergibt dies ein df von 48000 Hz/1024 = 46.88 Hz

In der Praxis ist die Abtastfrequenz fs meist eine vom System gegebene Grösse. Durch die Wahl der Blocklänge BL kann jedoch die Messdauer und Frequenzauflösung definiert werden. Es gilt:

  • Eine kleine Blocklänge ergibt schnelle Messwiederholungen bei grober Frequenzauflösung.
  • Eine grosse Blocklänge ergibt langsamere Messwiederholungen bei feiner Frequenzauflösung.

 

FFT Blocklength

 Darstellung der FFT eines Signals mit niedriger und hoher Blocklänge

Bis in alle Ewigkeit…
Bei der Fourier Transformation gilt die Annahme, dass der gesampelte Signal-Ausschnitt sich unendlich lange periodisch wiederholt. Daraus folgen zwei Schlüsse:
  1. Die FFT eignet sich nur für periodische Signale.
  2. Der gesampelte Signal-Ausschnitt muss eine ganzzahlige Anzahl Perioden enthalten.

Es lässt sich erkennen, dass speziell die Bedingung 2. nur auf sehr wenige Signale zutreffen würde. Die Abtastung eines Signals, dessen Frequenzen kein ganzzahliges Vielfaches von df sind, würde innerhalb eines Blockes aus 2^n Abtastwerten mit unterschiedlichen Werten beginnen und enden. Dies resultiert in einem Sprung im Zeitsignal, und einem dadurch „verschmierten“ FFT Spektrum („Leakage“ Effekt).

FFT Smearing

 Ungefenstertes Zeitsignal mit verschmiertem Spektrum


Fensterung
Um dieses Verschmieren zu verhindern, bedient man sich in der Praxis der „Fensterung“ des Signalausschnittes. Mit einer Gewichtungsfunktion wird der Signalausschnitt mehr oder weniger sanft ein- und ausgeblendet. Damit wird erreicht, dass das gesampelte und anschließend ‚gefensterte‘ Signal bei Amplitude Null anfängt und aufhört. Der Ausschnitt kann nun ohne harten Übergang periodisch wiederholt werden.

Windowed time signal FFT

 gefenstertes Zeitsignal mit Spektrum

Ein Praxisbeispiel
Ein klassisches Beispiel aus der Signaltheorie ist die spektrale Zusammensetzung eines Rechtecksignals. Dieses besteht aus der Summe aller gewichteten ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz.
 

Formula Square Wave

Dieses Video zeigt die Entstehung eines 500 Hz Rechtecksignals als Zeitsignal und Spektrum.
 


Womit messen?
Für schnelle und einfache FFT Analysen bis etwa 20 kHz ist der portable XL2 Audio- und Akustik-Analysator bestens geeignet. Für mehrkanalige und detailliertere Analysen oder Berechnungen wird ein modernes System mit grosser Bandbreite und schnellen Signalprozessoren wie der FLEXUS FX100 Audio Analyzer benötigt. In Verbindung mit der FX-Control PC Software lässt sich die FFT entsprechend der Anforderungen der Messung einfach und rasch anpassen und visualisieren. Durch den größeren internen Speicher des FLEXUS FX100 können deutlich größere Blocklängen verarbeitet werden, was zu einer sehr viel feineren Frequenzauflösung führt.

Ausblick auf Teil 2
Im zweiten Teil werden diese Themen behandelt:
  • Aliasing
  • Fensterfunktionen
  • Mittelung von Spektren
  • Power vs. Peak Messung
  • Berechnungen mit FFT Resultaten
  • Zustandsanalyse mit FFT

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Lesen Sie Teil 2 dieses Artikels.
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Kategorien: Qualitätsprüfung

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